PEJUANG ILMU: makalah matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu perkembangan pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah dipelajari pada mata kuliah sebelumnya, yaitu mata kuliah Matematika Ekonomi. Bertujuan untuk memberikan konsep-konsep dan teknik-teknik dalam matematika terapan yang sering digunakan untuk analisis ekonomi, bisnis dan keuangan. Materi yang dibahas adalah himpunan permutasi dan kombinasi derivatif fungsi yang terdiri dari banyak variabel bebas, matriks, nonlinier programming, diferensial, integral, serta perkenalan materi yang menyangkut ke dalam matematika ekonomi. Mahasiswa diharapkan dapat melakukan perbandingan antara permutasi dan kombinasi, persamaan fungsi linier, integral tertentu dan tak tentu, dan matriks, dsb.

B. Pembatasan Masalah

Adapun pembatasan masalah dalam makalah ini guna membatasi permasalahan yang ada, sehingga dapat dipecahkan dan dicari solusi penyelesaiannya, yakni diantaranya:

1. Apakah himpunan, permutasi dan kombinasi ?

2. Apakah fungsi itu?

3. Apakah diferensial?

4. Apakah integral ?

5. Apakah matriks dan vektor ?

C. Maksud dan Tujuan

Penyusunan makalah ini memiliki beberapa tujuan yang ingin di capai, diantaranya:

Untuk memebrikan pemahaman mengenai materi yang ada dalam makalah ini, semoga kita semua bisa benar-benar memahami tentang materi apa yang dibahas dalam makalah ini dan dapat menjadikan kita lebih giat dan teliti dalam belajar terutama dalam mencapai tujuan apa yang kita inginkan.

D. Kegunaan Makalah

1. Bagi kepentingan penulis, makalah ini dapat menambah pengetahuan bagi penulis dalam menyajikan salah satu karya tulis ilmiah yaitu makalah dengan baik dan benar, mengenai pentingnya ”Ringkasan Materi”.

2. Bagi kepentingan pembaca, makalah ini dapat menambah wawasan mengenai ”Ringkasan Materi”, terutama bagi generasi muda sebagai generasi penerus bangsa.

E. Prosedur Makalah

Metode penulisan yang saya lakukan dalam pembuatan makalah ini adalah dengan menggunakan kajian pustaka yaitu dengan mengambil bahan-bahan kajian dari beberapa buku serta sumber dari internet yang ada kaitannya dengan materi yang dibahas dalam makalah ini.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Himpunan

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Notasi Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	$S$
Elemen himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	$a$
Kelas	Huruf tulisan tangan	$\mathcal{C}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks


Notasi	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{C}$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
${}$ atau $\varnothing$	Himpunan kosong
$\cup$	Operasi gabungan dua himpunan
$\cap$	Operasi irisan dua himpunan
$\subseteq$ , $\subset$ , $\supseteq$ , $\supset$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
$A C$	Komplemen
$\mathcal{P}(A)$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

$B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$

$A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}$

$\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}$

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

$O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}$

$E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}$

$P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}$

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

$A = \{ x\, |\, x \notin A\}$

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

$\varnothing = \{ \, \}$

Relasi antar himpunan

Sub himpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

$B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A$

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka $\varnothing$ juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

$\varnothing \subseteq A$

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

$A \subseteq A$

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

$B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A$

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

$A \supseteq B \equiv B \subseteq A$

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

$A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B$

atau

$A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A$

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

B. Permutasi Dan Kombinasi

Permutasi

Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

$n^r \,$

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 4³ atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

$\frac{n!}{(n-r)!}$

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.

Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.

Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

$\frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!$ karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

${{(n + r - 1)!} \over {r!(n - 1)!}} = {{n + r - 1} \choose {r}} = {{n + r - 1} \choose {n - 1}}$

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

${{n!} \over {r!(n - r)!}} = {n \choose r}$

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

C. FUNGSI

Pengertian

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur pembentuk fungsi, yaitu variable, koefisien dan konstanta.

Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf Latin. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam suatu fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.

Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f(x)

Contoh : y = f(x) = 5 + 0,8 x

y merupakan dependen variable, 5 adalah konstanta, 0,8 koefisien variasi x dan x adalah independen variable

Jenis-Jenis Fungsi

Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat dibawah ini :

I. FUNGSI LINEAR ( Fungsi Garis Lurus )

· Adalah fungsi yang memiliki 2 variable atau lebih yang masing-masing variable nilainya saling mempengaruhi.

· Bentuk persamaannya :

y = ax + b

Dimana ;

y = Variable tidak bebas

x = Variable bebas

a dan b = konstanta.

· Ciri-ciri persamaan linear :

1. Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.

2. Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

3. Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.

4. Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.

5. titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.

6. a disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.

Rumus umum tan α :

a = y2 – y1

x2 – x1

· Contoh soal persamaan linear

x	1	2	3
y	9	11	13

a. Tentukan persamaannya !

b. Gambarkan grafiknya !

Jawab :

y = ax + b 9 = a + b

9 = a + b 11 = 2a + b _

11 = 2a + b -2 = -a

13 = 3a + b a = 2

9 = a + b

9 = 2 + b

B = 7

Jadi persamaannya y 2x + 7

II. FUNGSI KUADRAT

· Bentuk persamaannya

y = ax2 + bx + c

Dimana ;

y = variable tidak tetap

x = variable tetap

a, b, c = konstanta

· Ciri-ciri persamaan kuadrat

1. Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

2. jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

3. semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

4. semakin kecil a maka gambar semakin lebar

5. titik puncak membelah gambar sama besar

6. titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x = 0

7. titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y = 0

8. Titik p disebut titik puncak

9. jika x = 0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

· Contoh soal

x	1	2	3	4
y	8	13	20	29

Tentukan persamaan dan gambarkan !

Jawab :

y = ax2 + bx + c 5 = 3a + b x 1

8 = a + b + c 12 = 8a + 2b x 2

13 = 4a + 2b + c 10 = 6a + 2b

20 = 9a + 3b + c 12 = 8a + 2b _

-2 = -2 a

a = 1

13 = 4a + 2b + c

8 = a + b + c _

5 = 3a + b (1) 5 = 3a + b

5 = 3 + b

b = 2

20 = 9a + 3b + c

8 = a + b + c _

12 = 8a + 2b + c (2) 8 = a + b + c

8 = 1 + 2 + c

c = 8 – 3

c = 5

Jadi persamaannya adalah y = x2 + 2 x + 5

x	-2	-1	0	1	2
y	5	4	5	8	13

Gambar :

III. PERPOTONGAN GARIS ( Titik Keseimbangan )

· Fungsi kebalikan

Rumus umum : x = ay2 + by + c

Contoh soal :

Carilah titik keseimbangan antara persamaan y = -2x + 50 dengan persamaan y = -x +7 ! Gambarkan !

Jawab :

y = -2x + 50

2x = -y + 50

x = -½y + 25 ( D ) x = - ½ y + 25

x	0	25
y	50	0

y = -x + 70

x = -y + 70 ( S ) x = -y + 70

x	0	70
y	70	0

D = S

½ y + 25 = -y + 70

½ y = 45

y = 90

x = -y + 70

x = -90 + 70

x = -20

titik potong ( -20, 90 )

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN

· Fungsi Permintaan ( D )

Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta konsumen pada periode tertentu dan dipengaruhi oleh :

1. Harga produk itu sendiri

2. Pendapatan konsumen

3. Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang

4. Harga produk lain yang saling berhubungan

5. Selera konsumen

· Fungsi Penawaran ( S )

Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan pada periode tertentu dandipengaruhi oleh :

1. Harga produk tersebut

2. Tingkat teknologi yang tersedia

3. Harga dari faktor produksi (input) yang digunakan

4. Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi

5. Harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang

· Keseimbangan Pasar ( E )

1. Keseimbangan pasar satu macam produk

Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs ) atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps )

Contoh soal :

Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi penawarannya adalah Qs = 7 – 2p

a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?

b. Tunjukkan secara geometri !

Jawab :

a.) Qd = Qs b.) Gambar keseimbangan pasar

10 – 5 p = 7 – 2p

Q	0	10
P	2	0

3p = 3 Q = 10 – 5p

P = 1

Q = 10 – 5p

Q = 5 Q = 7 – 2p

Q	0	10
P	2	0

Harga danjumlah keseimbangan

pasar adalah E ( 5,1 )

2. Keseimbangan pasar dua macam produk

Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan dimana;

Qdx = Jumlah yang diminta untuk produk x

Qdy = Jumlah yang diminta untuk produk y

Px = Harga barang x

Py = Harga barang y

Contoh soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki hubungan subsitusi :

Qdx = 4 – 2Px + Py

Qdy = -4 + Px + 5Py

Qsx = -8 + 3Px – 5Py

Qsy = 5 – Px – Py

Carilah keseimbangan pasarnya

Jawab :

Qdx = Qsx

4 – 2Px + Py = -8 + 3Px – 5Py

12 = 5Px – 6Py ( 1 )

Qdy = Qsy

-4 + Px + Py = 5 – Px – Py

9 = 2Px + 6Py ( 2 )

12 = 5Px – 6Py

9 = 2Px + 6Py +

21 = 7Px

Px = 3

9 = 2Px + 6Py

9 = 2 (3) + 6 Py

9 = 6 + 6 Py

6Py = 3

Py = ½

Qdy = -4 + Px + 5Py

= 4 – 6 + ½

= -1 ½

· Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar

Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut.

TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt

TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et

TP = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d

Maka : TK = ( Pt – Po ) Qt

TG = t.Qt

TP = TG – TK

Qt = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak.

Contoh soal :

Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit

a. berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?

b. berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?

c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?

Jawab ;

a. Pd = Ps

7 + Q = 16 – 2Q P = 7 + Q

3Q = 9 P = 7 + 3

Q = 3 P = 10

Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )

Pt = 16 – 2Q + t

= 16 – 2Q + 3

= 19 – 2Q Pt = Pd

19 – 2Q = 7 + Q

3Q = 12

Q = 4

Pt = 19 – 2Q

= 19 – 8

= 11

Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )

b. TG = t.Qt

= 3 . 4

= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )

c. TK = ( Pt – Po ) Qt

= ( 11 – 10 ) 4

= 4 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- )

Tp = TG – TK

= 12 – 4

= 8 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- )

· PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q ) = P + S atau P = F ( Q ) – S

Contoh Soal ;

Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 12 – 2P sedangkan penawarannya Q = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.

a. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?

b. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?

c. berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?

d. berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?

Jawab ;

a.) Qd = Qs Q = 12 – 2P

12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8

4P = 16 = 4

P = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 )

b.) Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Pd = Pss

Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 - ½ Q + 6 = ½ Q

Pss = ½ Q + 2 – 2 Q = 6

Pss = ½ Q P = ½ Q

P = 3

( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )

c.) SK = ( Po – Ps ) Qs SP = S – (( Po – Ps ) Qs)

= ( 4 – 3 ) 6 = 12 – (( 4 – 3 ) 6 )

SK = 6 = 12 - 6

SG = Qs . s = 6

= 6 . 2 = 12 ( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )

( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )

d.) Subsidi yang diberikan pemerintah

SG = s . Qs

= 2 . 6

= 12

FUNGSI BIAYA DAN FUNGSI PENERIMAAN

1. Fungsi Biaya

a. Biaya tetap ( Fixed Cost )

Sifatnya tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan kurvanya berupa garis lurus sejajar garis jumlah.

b. Biaya variable ( Variable Cost )

Tergantung jumlah barang yang dihasilkan. Kurvanya

F . C = K

V . C = f (Q) = VQ

C = g (Q) = F . C = V . C = k + V . Q

2. Fungsi Penerimaan

Penerimaan hasil penjualan merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual. Penerimaan total ( total revenue ) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual perunit.

3. Hukum Analisis Pulang Pokok / BEP / Titik Impas

- Keuntungan profit ( profit positif ) diperoleh jika R > C

- Kerugian ( profit negatif ) diperoleh jika R< C

4. Konsep Analisis Pulang Pokok

Keadaan pulang pokok ( profit nol ) terjadi jika R = C. Perusahaan tidak memperoleh keuntungan, namun tidak juga mengalami kerugian.

Contoh soal :

Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20000 + 100Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat berapa perusahaan mengalami pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ?

Jawab ;

C = 20.000 + 100Q Jika Q = 150

R = 200Q C = 20000 + 100Q

R = C C = 20000 + 100 ( 150 )

300Q = 20000 + 100Q C = 20000 + 15000

200Q = 20000 C = 35000

Q = 100 R = 200Q

R = 30000

( Perusahaan mengalami kerugian karena R < C )

DERET

· DERET HITUNG

Adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhdap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan disebut pembeda

* Suku ke-n

Sn = a + ( n – 1 ) B

Dimana ;

Sn = Suku ke-n

a = Suku pertama ( S₁ )

B = pembeda

n = Indeks suku

* Jumlah n suku

Adalah jumlah deret hitung sampai denga suku tertentu

Un = n ( 2a + ( n – 1 ) B )

Un = Jumlah suku ke-n

Contoh soal :

5, 9, 13, 17 . . . . . . . . . .

a. berapakah nilai suku ke-17 dan 21 ?

b. berapakah nilai jumlahnya sampai suku ke-17

Jawab ;

a. Sn = a + ( n – 1 ) B

S₁₇ = 5 + ( 17 – 1 ) 4 S₂₁ = 5 + ( 21 – 1 ) 4

= 5 + 72 = 5 + 80

= 77 = 85

b. Un = n ( 2a + ( n – 1 ) B )

U₁₇ = 17/2 ( 2 (5) + ( 17 – 1 ) 4 )

= 17/2 ( 10 + 72 )

= 17/2 ( 82 )

= 697

· DERET UKUR

Adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan perkalian bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan disebut pengganda.

* Suku ke-n

Sn = a . P ^n-1 Dimana ; a = suku pertama

P = pengganda

* Jumlah n suku

Adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n

Jn = a ( 1 – Pⁿ ) Jn = a ( 1 – Pⁿ )

1 – p P – 1

Untuk P < 1 Untuk P > 1

Contoh soal :

4, 8, 16, 32 . . . . . . . . .

Berapa nilai ke-5 dan berapa jumlah sampai dengan suku ke-5 ?

Jawab ;

Sn = a . P ^n-1 P > 1

P = 2 Jn = a (Pⁿ– 1 )

S₅ = 4 . 2 ^5-1 P – 1

= 4 . 2 ⁴ J₅ = 4 ( 2⁵ – 1 )

S₅ = 4 . 16 2 – 1

S₅ = 64 = 4 ( 32 – 1 )

= 4 . 31

J₅ = 124

· MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

Contoh soal :

y = 2x³ – 3x² – 12x + 24

Tentukan nilai maksimum dan minimum serta titik beloknya.

Jawab ;

y = 2x³ – 3x² – 12x + 24

y’ = 6x² – 6x + 12

y = 0

6x² – 6x + 12 : 6

x² – x + 2

( x -2 ) ( x + 1 )

x = 2 x = -1

x ( -1 ) = 2x³ – 3x² – 12x + 24

= 2(-1)³ – 3(-1)² – 12(-1) + 24

= -2 – 3 + 12 + 24

= 31

x (-1); x = 0 y = 24

x (-1); x = -2 y = -16 – 12 – 24 + 24

= 20

x = 2 y = 16 – 12 – 24 + 24

= 4

x > 2; x = 3 y = 54 – 27 – 36 + 24

= 15

x < 2; x = 1 y = 2 – 3 – 12 + 24

= 11

· TITIK BELOK

Dimana fungsi membelok kearah cekungan yang berlawanan. Syaratnya y’’ = 0

Contoh soal :

y = 2x³ – 3x² – 12x + 24

y’ = -6x² – 6x – 12

y’’ = 12x -6

y’’ = 0

12x -6 = 0

12x = 6

x = 2

y = 2x³ – 3x² – 12x + 24

= 16 – 12 – 24 + 24

= 4.

D. Diferensial

Pengertian Diferensial Darivatif atau turunan dy/dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari Δy/Δx, sewaktu ∆x mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.
Jika fَ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan ∆x merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan df (x) = fَ (x) . dy/dx ∆x

Jika f(x) = x, maka fَ (x) = 1, dan dx = ∆x. Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan ∆x, Jika y = f(x), maka dy = fَ (x) dx = dy/dx dx
Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial variabel bebas. Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan misalkan turunannya pada titik P = fَ (x). Maka dx = PQ dan dy = fَ (x) = (tan⁡α)(PQ) = PT/PQ.PQ=QT

Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan dx.

Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam rumusan turunannya.
dy/dx = fَ (x) = (tan⁡α) dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P.
Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan ∆y dari fungsi yang berpadan dengan nilai dx = ∆x yang sama, pada umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT sedang ∆y = QP

Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa ∆y = QP', dan dy = QT kurang lebih sama, jika ∆x = PQ sangatlah kecil. Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali.

Penerapan Diferensial Ekonomi

1 Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y=f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai : η= Ey/Ex= lim┬(∆x→0)⁡〖((∆y/y))/((∆x/x))〗= dy/dx . x/y. Ini berarti bahwa elastisitas y=f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x

Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya : ηd= (%∆Q_d)/(%∆P)= (EQ_d)/EP=lim┬(∆P→0)⁡〖(((∆Q_d)/Q_d ))/((∆P/P))〗= (dQ_d)/dP.P/Q_d

Dimana (dQ_d)/dP tak lain adalah Q'd atau f'(P) Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |ηd| >1, elastic – uniter jika |ηd|=1, dan inelastic bila |ηd|<1. Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. Contoh kasus: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P2 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Qd = 25 – 3 P2 ηd= (dQ_d)/dP . P/Q_d = -6P . P/(25-3P^2 ) . 〖Q'〗_d= (dQ_d)/dp= -6P = -6 (5).5/(25-75)=3 (elastik) ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen. Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya : ηs= (%∆Q_s)/(%∆P)= (EQ_s)/EP=lim┬(∆P→0)⁡〖(((∆Q_s)/Q_s ))/((∆P/P))〗= (dQ_s)/dP.P/Q_s Dimana (dQ_s)/dP tak lain adalah Q's atau f'(P). Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila η_s>1, elastic – uniter jika η_s=1 dan inelastic bila η_s<1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
Contoh kasus : Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?

Qs = -200 + 7 P2 ηs= (dQ_s)/dP . P/Q_s = 14P . P/(-200+7P^2 )

Q’s = dQs / dP = 14 P

Pada P = 10, ηs= 140 . 10/(-200+700)=2,8

Pada P = 15, ηs= 210 . 15/(-200+1575)=2,3

η_s=2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%
Dan η_s=2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan.

Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :

ηp= (%∆P)/(%∆X)= EP/EX=lim┬(∆X→0)⁡〖((∆P/P))/((∆X/X))〗= dP/dX.X/P

Dimana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh kasus :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.

P = 6 X2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2

ηp= dP/dX . X/P=(12 X- 3 X^2 ).X/((6 X^2- X^3))

Pada X = 3, ηp= (36- 27) . 3/((54-27))=1

Pada X = 7, ηp= (84- 147) . 7/((294-343))=9

η_p=1 berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %

Dan η_p=9 berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

E. Integral

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F'= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui Teorema dasar kalkulus, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Rumus

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

$F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\quad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\quad x>0\end{cases}$

$\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.$

Sifat-sifat integral tak tentu :

ʃ a dx = ax (a = konstanta/bilangan)

ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx (k = konstanta)

ʃ f(x) ± g(x) dx = ʃ f(x)dx + ʃ g(x) dx

Contoh soal :

ʃ 3x √(x^2-3) dx = ........

Menjawab soal ini dgn cara substitusi atau cara parsial??

Kita uraikan dulu :

Misal : g(x) = 3x

f(x) = x^2-3, sehingga f ‘(x) = 2x

Ternyata dapat diperoleh hubungan g(x) = 3/2 f ‘(x) ------à 3x=3/2 . 2x

Jadi gunakan penyelesaian cara substitusi. Ingat, Integral Substitusi adalah perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain. Bentuknya ʃ g(x) f^n(x) dx. Syaratnya : g(x) = k. f ‘(x). k = bilangan pengali ≠ 0.

Jadi Penyelesaian Soal : ʃ 3x √(x^2-3) dx = ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx

Ingat Rumus yang ini : ʃ g(x) f^n(x) dx = g(x) / {(n+1) f ‘(x)} . f ^(n+1) (x) dx + C

ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx = 3x / {(1/2+1).2x} . (x^2 – 3)^(1/2+1) + C

= 3x / (3/2.2x) . (x^2 – 3)^3/2 + C

= (x^2 – 3)^3/2 + C

= (x^2 – 3) √(x^2 – 3) + C

Selesaikan soal sangat mudah berikut dgn menggunakan Rumus Integral Substitusi :

ʃ 4(2x-5)^3 dx = .....................

Contoh Penyelesaian Soal Integral dengan cara Parsial :

ʃ 4x (2x + 5)^4 dx = .............

Soal seperti ini lebih baik dikerjakan dgn cara Parsial dari pada cara Substitusi.

f(x) = 4x cukup diturunkan satu kali hingga mencapai konstanta 4

g(x) = (2x+5)^4 diintegralkan dua kali, karena f(x) nya cuma diturunkan satu kali.

Gunakan Rumus Tanzalin : ʃ f(x).g(x) = f(x) ʃ g(x) dx f ‘(x) ʃʃ g(x) dx (cukup sampai sini kali + 1kali - karena sudah mencapai konstanta)

Langkah 1 : 4x. 1/10 (2x+5)^5 kali +1

Langkah 2 : 4. 1/120 (2x+5)^6 kali -1

= 2/5 x (2x+5)^5 – 1/30 (2x+5)^6 + C

= 1/30 (2x+5)^5 (12x – (2x+5)) + C

= 1/30 (2x+5)^5 (10x – 5) + C

Integral Tertentu

Integral yang dilengkapi dengan batas daerah definisinya.

Bentuk Umum :

ʃ [a,b] f(x) dx = [F(x)][a,b] = [F(x)) = F(b) – F(a)]

Sifat-sifat Integral Tertentu :

ʃ [a,b] [f(x) ± g(x)] = ʃ [a,b] f(x) dx ± ʃ [a,b] g(x) dx

ʃ [a,b] f(x) dx + ʃ [b,c] f(x) dx = ʃ [a,c] f(x) dx ------à a < b < c

ʃ [a,b] f(x) dx = - ʃ [b,a] f(x) dx

ʃ [a,b] k f(x) dx = k ʃ [a,b] f(x) dx

ʃ [a,a] f(x) = 0

Keterangan : [a,b] = a batas bawah, b batas atas.

Penerapan Ekonomi Integral

Penedekatan integral taktentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya-yakni integrasi-dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya. Pendekatan integral tertentu diterapkan pada suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tetentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang(surplus konsumen) dan keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tetentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya(surplus produsen).

F. Matriks Dan Vektor

MATRIK

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

Pabrik	Kota
Pabrik	Kota 1	Kota 2	Kota 3	Kota 4
Pabrik 1	5	2	1	4
Pabrik 2	2	3	6	5
Pabrik 3	7	6	3	2

Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

	Kolom1	Kolom2	Kolom3	Kolom4
	5	2	1	4	Baris1
A =	2	3	6	5	Baris2
	7	6	3	2	Baris3

PEJUANG ILMU

Pages

Senin, 19 Desember 2011

makalah matematika

C. Maksud dan Tujuan

D. Kegunaan Makalah

E. Prosedur Makalah

Notasi Himpunan

Himpunan kosong

Relasi antar himpunan

Kesamaan dua himpunan

Permutasi tanpa pengulangan

Kombinasi pengulangan

Kombinasi tanpa pengulangan

D. Diferensial

Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan dx.

Penerapan Diferensial Ekonomi

Qs = -200 + 7 P2 ηs= (dQ_s)/dP . P/Q_s = 14P . P/(-200+7P^2 )

Q’s = dQs / dP = 14 P

Pada P = 10, ηs= 140 . 10/(-200+700)=2,8

Pada P = 15, ηs= 210 . 15/(-200+1575)=2,3

Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan.

ηp= (%∆P)/(%∆X)= EP/EX=lim┬(∆X→0)⁡〖((∆P/P))/((∆X/X))〗= dP/dX.X/P

Dimana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh kasus :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.

P = 6 X2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2

ηp= dP/dX . X/P=(12 X- 3 X^2 ).X/((6 X^2- X^3))

Pada X = 3, ηp= (36- 27) . 3/((54-27))=1

Pada X = 7, ηp= (84- 147) . 7/((294-343))=9

η_p=1 berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %

Dan η_p=9 berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

E. Integral

Integral Tak Tentu

Rumus

F. Matriks Dan Vektor

MATRIK

Tidak ada komentar:

Posting Komentar